Matemática A

12.º Ano

Fichas de exercícios organizadas por tema, com treino orientado para consolidar raciocínio, preparar testes e ganhar confiança para o exame nacional.

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Materiais organizados por ficha

Nesta secção encontras fichas de Matemática A preparadas para consulta simples no site. Cada ficha apresenta os exercícios em blocos e, mais abaixo, encontras resumos dos principais conteúdos.

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Ficha 1 — Números Complexos

Ficha de Matemática A do 12.º ano com exercícios graduados por dificuldade, focada em números complexos, forma algébrica, forma trigonométrica, equações em ℂ e regiões no plano complexo.

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Operações básicas e equação do 2.º grau

Dados os números complexos z₁ = 3 − 2i e z₂ = −1 + 4i, resolve:

a) Identifica Re(z₁), Im(z₁), o conjugado de z₁ e o módulo de z₁.

b) Calcula z₁ + z₂, z₁ − z₂, z₁ · z₂ e z₁ / z₂.

c) Resolve, em ℂ, a equação x² − 4x + 13 = 0.

Fácil

Forma trigonométrica e potenciação

Considera o número complexo z = −2 + 2√3i.

a) Determina o módulo de z e um argumento principal de z.

b) Escreve z na forma trigonométrica.

c) Usa a forma trigonométrica para calcular z² e confirma o resultado pela forma algébrica.

Fácil

Igualdade de complexos e conjugado

Determina os números reais a e b tais que (a + bi)(2 − i) = 5 + 5i.

Depois de encontrares a e b, considera u = a + bi e resolve:

a) Representa o afixo de u no plano de Argand-Gauss.

b) Calcula u + ū, u · ū e 1/u.

Médio

Operações na forma trigonométrica

Considera os números complexos z₁ = 2 cis(π/6) e z₂ = √2 cis(3π/4).

a) Calcula z₁ · z₂ na forma trigonométrica e, de seguida, na forma algébrica.

b) Calcula z₁³.

c) Determina as raízes quadradas de z₂ na forma trigonométrica.

Médio

Equação com raízes complexas

Resolve, em ℂ, a equação z⁴ + 16 = 0.

Apresenta as soluções na forma trigonométrica e na forma algébrica.

Difícil

Regiões no plano complexo

No plano complexo, considera o conjunto S definido por:

S = {z = x + yi ∈ ℂ : |z − (2 − i)| ≤ 3 e Re((1 + i)z) > 1}.

a) Escreve as duas condições em função de x e y.

b) Descreve geometricamente o conjunto S.

c) Indica, justificando, se os números complexos 4 + i e 0 pertencem a S.

Adiciona aqui os exercícios desta ficha quando estiverem prontos.

Resumos

Escolhe um resumo acima para reveres os conceitos, propriedades e fórmulas essenciais.

Resumo 1 — Conceitos e propriedades

Revisão dos conceitos essenciais dos números complexos: forma algébrica, partes real e imaginária, conjugado e módulo.

Forma algébrica

Um número complexo escreve-se na forma:

z = a + bi, com a, b ∈ ℝ e i² = −1

Re(z) = a
Im(z) = b
a é a parte real
b é a parte imaginária

Igualdade de complexos

Dois números complexos são iguais quando têm a mesma parte real e a mesma parte imaginária.

a + bi = c + di ⇔ a = c e b = d

Conjugado

O conjugado de z = a + bi obtém-se alterando o sinal da parte imaginária.

z̄ = a − bi

Propriedade fundamental:

z · z̄ = |z|²

Módulo

O módulo representa a distância entre o afixo de z e a origem do referencial.

|z| = √(a² + b²)

Para z ≠ 0:

1/z = z̄ / |z|²

Dica: antes de resolver uma operação, identifica sempre a forma em que o número complexo está apresentado.

Resumo 2 — Forma trigonométrica

Revisão da representação trigonométrica de um número complexo, do módulo, do argumento e da passagem entre representações.

Representação trigonométrica

Para z ≠ 0, sendo r = |z| e θ um argumento de z:

z = r(cos θ + i sen θ)

Também se pode escrever:

z = r cis(θ)

Determinar o módulo

Se z = a + bi:

r = |z| = √(a² + b²)

O módulo é sempre um número real não negativo.

Determinar o argumento

O argumento depende do quadrante em que se encontra o afixo do número complexo.

cos θ = a/r
sen θ = b/r

É importante analisar os sinais de a e b antes de escolher o ângulo.

Regresso à forma algébrica

Partindo de z = r(cos θ + i sen θ):

Re(z) = r cos θ
Im(z) = r sen θ

Assim:

z = r cos θ + i(r sen θ)

Dica: num exercício com argumentos, desenha rapidamente o quadrante antes de escolher o valor de θ.

Resumo 3 — Operações, potências e raízes

Fórmulas essenciais para multiplicar, dividir, elevar a potências e determinar raízes de números complexos.

Produto

Se:

z₁ = r₁ cis(α)
z₂ = r₂ cis(β)

Então:

z₁z₂ = r₁r₂ cis(α + β)

Quociente

Para z₂ ≠ 0:

z₁/z₂ = (r₁/r₂) cis(α − β)

Dividem-se os módulos e subtraem-se os argumentos.

Potenciação

Pela fórmula de De Moivre:

[r cis(θ)]ⁿ = rⁿ cis(nθ)

A fórmula é particularmente útil para potências de expoente elevado.

Raízes de índice n

As raízes de z = r cis(θ) são:

wₖ = ⁿ√r · cis((θ + 2kπ)/n)

com:

k = 0, 1, 2, …, n − 1

Dica: nas raízes de índice n devem aparecer exatamente n soluções distintas, distribuídas regularmente numa circunferência.

Resumo 4 — Equações e regiões

Interpretação de equações complexas e das principais condições geométricas no plano de Argand-Gauss.

Circunferência

A condição:

|z − z₀| = r

representa uma circunferência de centro no afixo de z₀ e raio r.

Disco e exterior

|z − z₀| ≤ r

representa o disco fechado.

|z − z₀| > r

representa a região exterior à circunferência, sem a fronteira.

Partes real e imaginária

Se z = x + yi:

Re(z) = x
Im(z) = y

Re(z) = a representa uma reta vertical.
Im(z) = b representa uma reta horizontal.
Desigualdades representam semiplanos.

Igualdade de distâncias

A condição:

|z − z₁| = |z − z₂|

representa a mediatriz do segmento que une os afixos de z₁ e z₂.

Dica: nas regiões complexas, começa por substituir z por x + yi e transforma a condição numa expressão em x e y.

A resolução detalhada dos exercícios pode ser pedida por email para sintese.do.estudo.geral@gmail.com .