Materiais organizados por ficha
Nesta secção encontras fichas de Matemática A preparadas para consulta simples no site. Cada ficha apresenta os exercícios em blocos, permitindo abrir e fechar o conteúdo de forma prática.
Ficha 1 — Números Complexos
Ficha de Matemática A do 12.º ano com exercícios graduados por dificuldade, focada em números complexos, forma algébrica, forma trigonométrica, equações em C e regiões no plano complexo.
Operações básicas e equação do 2.º grau
Dados os números complexos z₁ = 3 − 2i e z₂ = −1 + 4i, resolve:
a) Identifica Re(z₁), Im(z₁), o conjugado de z₁ e o módulo de z₁.
b) Calcula z₁ + z₂, z₁ − z₂, z₁ · z₂ e z₁ / z₂.
c) Resolve, em C, a equação x² − 4x + 13 = 0.
Forma trigonométrica e potenciação
Considera o número complexo z = −2 + 2√3i.
a) Determina o módulo de z e um argumento principal de z.
b) Escreve z na forma trigonométrica.
c) Usa a forma trigonométrica para calcular z² e confirma o resultado pela forma algébrica.
Igualdade de complexos e conjugado
Determina os números reais a e b tais que (a + bi)(2 − i) = 5 + 5i.
Depois de encontrares a e b, considera u = a + bi e resolve:
a) Representa o afixo de u no plano de Argand-Gauss.
b) Calcula u + ū, u · ū e 1/u.
Operações na forma trigonométrica
Considera os números complexos z₁ = 2 cis(π/6) e z₂ = √2 cis(3π/4).
a) Calcula z₁ · z₂ na forma trigonométrica e, de seguida, na forma algébrica.
b) Calcula z₁³.
c) Determina as raízes quadradas de z₂ na forma trigonométrica.
Equação com raízes complexas
Resolve, em C, a equação z⁴ + 16 = 0.
Apresenta as soluções na forma trigonométrica e na forma algébrica.
Regiões no plano complexo
No plano complexo, considera o conjunto S definido por
S = {z = x + yi ∈ C : |z − (2 − i)| ≤ 3 e Re((1 + i)z) > 1}.
a) Escreve as duas condições em função de x e y.
b) Descreve geometricamente o conjunto S.
c) Indica, justificando, se os números complexos 4 + i e 0 pertencem a S.
Ficha 2 — Probabilidade e Cálculo Combinatório
Ficha de Matemática A do 12.º ano com 9 exercícios graduados: 3 fáceis, 3 médios e 3 difíceis. Inclui contagem, Laplace, Bayes, variável aleatória discreta e modelo Normal.
Códigos numéricos
Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 formam-se códigos de quatro algarismos.
a) Quantos códigos se podem formar se for permitida a repetição de algarismos?
b) Quantos códigos se podem formar se não for permitida a repetição de algarismos?
c) Escolhendo ao acaso um dos códigos sem repetição, qual é a probabilidade de o código começar por 1 ou por 2?
Dois dados equilibrados
Lançam-se dois dados cúbicos equilibrados, numerados de 1 a 6, e observa-se o par ordenado de resultados.
Considere os acontecimentos:
A : “a soma dos resultados é 7”, B : “pelo menos um dos dados mostra 6”.
a) Calcule P(A).
b) Calcule P(B).
c) Calcule P(A ∪ B).
Tabela de contingência
Numa atividade de orientação vocacional participaram 45 alunos. Cada aluno escolheu uma das áreas: Matemática ou Física.
A tabela seguinte resume os resultados.
Rapazes: 14 Matemática, 6 Física, Total 20.
Raparigas: 10 Matemática, 15 Física, Total 25.
Total: 24 Matemática, 21 Física, Total 45.
Escolhe-se, ao acaso, um dos alunos.
a) Qual é a probabilidade de o aluno escolhido ser rapariga, sabendo que escolheu Física?
b) Qual é a probabilidade de o aluno escolhido ter escolhido Física, sabendo que é rapariga?
c) Os acontecimentos “ser rapariga” e “ter escolhido Física” são independentes? Justifique.
Comissão de alunos
Numa turma há 6 raparigas e 4 rapazes. Pretende-se escolher, ao acaso, uma comissão de 4 alunos.
a) Quantas comissões diferentes de 4 alunos podem ser formadas?
b) Qual é a probabilidade de a comissão ter exatamente 2 raparigas?
c) Qual é a probabilidade de a comissão ter pelo menos 3 raparigas?
Controlo de qualidade e Bayes
Uma fábrica tem duas máquinas, M₁ e M₂. A máquina M₁ produz 60% das peças e a máquina M₂ produz 40% das peças.
Sabe-se que: P(D|M₁) = 0,02 e P(D|M₂) = 0,05, onde D representa o acontecimento “a peça é defeituosa”.
Escolhe-se uma peça ao acaso.
a) Calcule a probabilidade de a peça ser defeituosa.
b) Sabendo que a peça é defeituosa, calcule a probabilidade de ter sido produzida pela máquina M₂.
c) Sabendo que a peça não é defeituosa, calcule a probabilidade de ter sido produzida pela máquina M₁.
Variável aleatória discreta
Lança-se uma moeda equilibrada três vezes. Seja X a variável aleatória que representa o número de faces “cara” obtidas nos três lançamentos.
a) Construa a função massa de probabilidade de X.
b) Calcule P(X ≥ 2).
c) Calcule o valor médio μ = E(X) e o desvio padrão σ de X.
Anagramas com restrições
Considere a palavra MATEMATICA, formada por 10 letras: A, A, A, M, M, T, T, E, I, C.
Admita que se escolhe ao acaso um dos anagramas distintos desta palavra.
a) Quantos anagramas distintos existem?
b) Qual é a probabilidade de o anagrama começar por consoante e terminar por vogal?
c) Qual é a probabilidade de as duas letras M não ficarem juntas?
Bayes com dois testes independentes
Num sistema de monitorização, 3% dos equipamentos têm uma avaria real.
Quando um equipamento tem avaria, um teste dá alarme com probabilidade 0,95. Quando um equipamento não tem avaria, o teste dá um falso alarme com probabilidade 0,04.
Considere: F : “o equipamento tem avaria real”, A : “o teste dá alarme”.
a) Calcule P(A).
b) Sabendo que houve alarme, calcule P(F|A).
c) O mesmo equipamento é testado duas vezes, de forma independente, mantendo as mesmas probabilidades condicionadas. Sabendo que os dois testes deram alarme, calcule a probabilidade de o equipamento ter avaria real.
Modelo Normal e ensaios independentes
O peso, em gramas, de uma determinada embalagem é modelado por uma variável aleatória X ~ N(500,40), onde 500 é a média e 40 é o desvio padrão.
Admita os valores aproximados: Φ(−0,5) = 0,3085, Φ(1,5) = 0,9332, Φ⁻¹(0,95) ≈ 1,645.
a) Calcule P(480 < X < 560).
b) Determine, aproximadamente, o valor k tal que P(X < k) = 0,95.
c) Escolhem-se 8 embalagens, independentemente. Usando o resultado da alínea a), calcule a probabilidade de pelo menos 6 delas terem peso entre 480 g e 560 g.
Ficha 3 — Em breve
Esta secção fica pronta para a próxima ficha de Matemática A que quiseres adicionar.
Próxima ficha
Aqui podes colocar o próximo tema do 12.º ano ou uma ficha específica de preparação para exame.